我们将空格看成数字9，按正常顺序看a图，9是123456789，其逆序数是0，是偶排列；b图是123456879，逆序数是1，是奇排列。我们知道，我们能够移动的只有9，这里的移动相当于一种特殊的对换。现在假设从b图经过一系列的平移变到了a图，则空格块9必然移动（对换）了偶数次（向左一次必然要再向右一次回来，向上一次必然要向下再回来），根据上面的定理最终变成的排列必然是奇排列（和b图相同），然而a图是偶排列，因而产生矛盾，因此b图不可能通过平移空格块变成最终的a图。

　　进一步考虑，a图可以平移变成一些其他的状态，我们把这些归为一类，b图也代表一类，现在要问“拼图总共有几类？”，答案是大于等于2*2的拼图都有且只有这2类。这里只介绍证明思想：

　　1． 根据上面的定理，所有的拼图至少分两类

　　2． 2*2的拼图只有有两类

　　3． 拼图在增大之后，分类数不增。

　　根据这3条就可得出结论：拼图有且只有两类。我们可以得出一些其他有趣的结果，两类拼图的差异是他们之间相差奇数次的对换，也就是说任意交换一个拼图非空板块奇数次，则它就变到另外一类里了。

　　分为两类的本质原因是因为平面有两个面，正如顺时针和逆时针之分。

变种

　　拼图的画面多以自然风光、建筑物以及一些为人所熟识的图案的为题材。城堡和山峦是两类传统的主题，不过任何图画和影像都可以用做拼图的素材。有一些公司还提供将私人摄影作品制成拼图的服务。

　　常见的平面拼图有300件、500件、750件、1,000件等不同的规格；目前最大尺寸的商品拼图为24,000件/套。主流的拼图布局，千件/套为38×27，总计1，026件零片；500件/套为27×19，计513片。儿童拼图的尺寸和件头数更是花样繁多。

　　另有一些种类的拼图其零片两面都印有图案，玩家可按任意一面的图案拼组，同时游戏的难度也有所增加，因为就手中的零片而言，玩家很难确定哪一面才是正确的一面。

　　除了传统的平面拼图种类的立体拼图。零片多由木材或泡沫塑料等更坚实的材料制成。其空间特征往往导致了难度的增加，要求玩家必须按特定顺序拼接零片：如果已完成部分有零片拼装不当，剩下零片很可能就无法继续往上拼接。

　　另有一种被称作“拼图盒子”的玩具也很常见：玩家可以用类似平板拼图零片的可互锁部件组装出中间可存放物品的小巧的抽屉或盒子。

　　则可看成是一种介于平面拼图和立体拼图之间的中间类型。与平面拼图类似，它的球面也是用纸板零片拼摆出来的单层结构；而它的最终造型又是具有长、宽、高属性的三维形体。球形拼图的

　　此外，还有一些软件能以计算机图形的方式模拟实物拼图，这种虚拟拼图的优点是不需要手工清理，而且没有丢失零片的风险。当中变态拼图或著名动画人物拼图较受欢迎。